La enseñanza de los principios del cálculo: problemas epistemológicos, cognitivos y didácticos

La enseñanza de los principios del cálculo: problemas epistemológicos, cognitivos y didácticos
Michèle Artigue

https://core.ac.uk/download/pdf/12341268.pdf
INTRODUCCIÓN
Es evidente que la enseñanza de los principios del cálculo es problemática. Numerosas investigaciones realizadas muestran, con convergencias sorprendentes, que si bien se puede enseñar a los estudiantes a realizar de forma más o menos mecánica algunos cálculos de derivadas y primitivas y a resolver algunos problemas estándar, se encuentran grandes dificultades para hacerlos entrar en verdad en el campo del cálculo y para hacerlos alcanzar una comprensión satisfactoria de los conceptos y métodos de pensamiento que son el centro de este campo de las matemáticas. Estos estudios también muestran de manera clara que, frente a las dificultades encontradas, la enseñanza tradicional y en particular la enseñanza universitaria, aun si tiene otras ambiciones, tiende a centrarse en una práctica algorítmica y algebraica del cálculo y a evaluar en esencia las competencias adquiridas en este dominio. Este fenómeno se convierte en un círculo vicioso: para obtener niveles aceptables de éxito, se evalúa aquello que los estudiantes pueden hacer mejor, y esto es, a su vez, considerado por los estudiantes como lo esencial ya que es lo que se evalúa.
Artigue, M., Douady, R., Moreno, L., Gómez, P. (Ed.).  Ingeniería didáctica en educación matemática, pp. 97-140.  1995. “una empresa docente” & Grupo Editorial
Michèle Artigue

Después de una década, la evidencia de los problemas encontrados y la insatisfacción que generaban han tenido dos efectos notorios: De un lado, se han convertido en un motor potente para el desarrollo de investigaciones didácticas en este campo. De hecho, la mayoría de las investigaciones didácticas de la enseñanza superior se han concentrado en el campo conceptual del cálculo, tal y como lo demuestra el contenido de la obra “Advanced Mathematical Thinking” (Tall, 1991). 

Del otro lado, tales problemas han motivado numerosos proyectos de innovación de la enseñanza (en especial en los niveles de la educación media y el ciclo básico universitario). Se pueden citar casos como la renovación global del currículo en Francia y Australia, o como las innovaciones y experimentaciones de cada vez mayor amplitud en los Estados Unidos (Artigue & Ervynck, 1992). A pesar de esto, y en contra de lo que se podría pensar y desear, hay que enfatizar que el mundo de la investigación, por un lado, y el de la innovación, por el otro, están lejos de establecer vínculos estrechos. Como lo señala el informe intermedio de Tucker (1991), la mayoría de los proyectos inscritos en el área de la renovación del cálculo en los Estados Unidos se han aplicado de forma independiente de los trabajos de investigación existentes.

 ¿Qué resulta de esta actividad abundante de investigación e innovación?

 ¿Sobre cuáles problemas se ha avanzado en realidad?

 ¿Cuáles son las preguntas que permanecen abiertas? 

Es difícil intentar una síntesis, por múltiples razones: Las investigaciones, por ejemplo, se han desarrollado con enfoques que difieren no sólo por el peso respectivo que se le ha otorgado a las tres dimensiones esenciales que son la epistemológica, la cognitiva y la didáctica, sino también por los marcos teóricos que las sustentan. La diversidad contribuye sin duda alguna a la riqueza de este campo de investigación; pero al mismo tiempo la ausencia de un paradigma dominante no facilita la comunicación entre los investigadores. Como escribía en (Artigue, 1992), aun si es posible hacer traducciones entre ellas, tales traducciones sólo permiten tener visiones simplificadas y reduccionistas de los trabajos en cuestión. Con respecto a la innovación, existe otro problema que se suma a los asociados con la diversidad y difícil comparación de los diversos esfuerzos. Se trata de la obtención de hechos confiables. Los proyectos por lo general se realizan por el entusiamo de los pioneros militantes. La necesidad de convencer hace que se deje a un lado la importancia de un análisis riguroso del funcionamiento de la innovación y de sus efectos. Esto se ve particularmente en los casos concernientes a las tecnologías informáticas (calculadoras o computadores), que constituyen a menudo la base de proyectos de renovación. Las potencialidades se sobrestiman, mientras que los problemas de gestión eficaz se subestiman. Se cae entonces en el peligro de un discurso ingenuo, donde se toma con frecuencia como análisis cognitivo y didáctico el hecho de que esas herramientas se constituyan en un buen catalizador para forzar la evolución de las prácticas pedagógicas de los profesores y para comprometerlas con un enfoque más constructivista del aprendizaje.

En este artículo no pretendo presentar un panorama exhaustivo de los diversos trabajos que se han realizado. Quisiera más bien, con ayuda de numerosos ejemplos de investigaciones que a mi modo de ver son significativas, tratar de expresar cómo hoy en día concibo la enseñanza de los principios del cálculo, los problemas que presenta y las opciones que se nos ofrecen como profesores, con sus fortalezas y debilidades. Aquí nos interesa el presente y el futuro de la enseñanza del cálculo. Pero no sobra echar una mirada al pasado para comprender mejor la situación actual. Tampoco es inútil tratar de comprender de dónde se desprende nuestra enseñanza, y en función de qué limitaciones, internas o externas a las matemáticas, ella se ha establecido. Por esta razón, en la primera parte haré referencia a la historia de la enseñanza del cálculo en la secundaria francesa. La segunda parte la dedicaré a la presentación sintética de las principales dificultades y obstáculos que las investigaciones han evidenciado y han permitido analizar. En la tercera parte, me centraré en la descripción de algunas realizaciones didácticas a nivel de secundaria y de educación superior. Y en la última parte, antes de concluir, daré una mirada más global al campo, esta vez desde la óptica del análisis no estándar.

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